2.算法的时间复杂度和空间复杂度

1.算法效率¶

1.1 如何衡量一个算法的好坏¶

如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列：

long long Fib(int N)
{
    if (N < 3)
        return 1;
    return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？

1.2 算法的复杂度¶

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此 衡量一个算法的好坏,一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

1.3 复杂度在校招中的考察¶

2.时间复杂度¶

2.1时间复杂度的概念¶

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < N; ++j)
        {
            ++count;
        }
    }
    for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
    {
        ++count;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

Func1 执行的基本操作次数：

\(F(N)=N^2+2*N+10\)

N=10 F(N)=130
N=100 F(N)=10210
N=10000 F(N)=1002010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要 大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.2 大O的渐进表示法¶

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为

\(O(N^2)\)

N=10 F(N)=100
N=100 F(N)=10000
N=1000 F(N)=1000000 通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.3常见时间复杂度计算举例¶

实例一:

// 计算Func2的时间复杂度？(O(N))
void Func2(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
    {
        ++count;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

实例2：

// 计算Func3的时间复杂度？(O(M+N))
void Func3(int N, int M)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; ++k)
    {
        ++count;
    }
    for (int k = 0; k < N; ++k)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

实例3:

// 计算Func4的时间复杂度？(O(1))
void Func4(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; ++k)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

实例4:

// 计算strchr的时间复杂度？(O(N))
const char * strchr ( const char * str, int character );

实例5：

// 计算BubbleSort的时间复杂度？(O(N^2))
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i - 1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i - 1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (exchange == 0)
            break;
    }
}

实例6:

// 计算BinarySearch的时间复杂度？(O(logN))(注:log默认是以2为底数)
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
    assert(a);
    int begin = 0;
    int end = n - 1;
    // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
    while (begin <= end)
    {
        int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
        if (a[mid] < x)
            begin = mid + 1;
        else if (a[mid] > x)
            end = mid - 1;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}

对比表

N	暴力查找	二分查找
1000	1000(2^10)	10
100W	100W(2^20)	20
10亿	10亿(2^30)	30

实例7：

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？(O(N))
long long Fac(size_t N)
{
    if (0 == N)
        return 1;
    return Fac(N - 1) * N;
}

实例8:

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？(O(2^N))
long long Fib(size_t N)
{
    if (N < 3)
        return 1;
    return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

这个实例比较难，类似细胞分裂,上图：

疑问：栈的空间如此的小，为什么当N=50的时候，2^50的size_t的空间不会崩溃

解答：上图已经解释过了，时间的利用是一去不复返，空间可以重复利用，再上一个图吧!

3.空间复杂度¶

空间复杂度也是一个数学表达式， 是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用 大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定

实例一：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？(O(1))
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i - 1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i - 1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (exchange == 0)
            break;
    }
}

实例2:

// 计算Fibonacci的空间复杂度？(O(N))
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
    if (n == 0)
        return NULL;
    long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
    }
    return fibArray;
}